Матрици: Видове, действия и свойства 

Матриците са основна концепция в линейната алгебра и намират широко приложение далеч извън класната стая – в компютърните науки, физиката и икономиката например. В този материал ще откриете какво точно представляват матриците, какви видове биват и някои от най-важните им свойства.

Какво е матрица?

Матрицата е таблица с елементи, които са подредени в редове и стълбове. Размерът ѝ се определя от броя на редовете и стълбовете. Например, матрица с 3 реда и 2 колони се нарича 3x2 матрица.

Изписва се по следния начин:

A = | 1 2 |
        | 3 4 |

Основни видове матрици

Квадратна матрица е тази, в която броят на редовете и на стълбовете е равен. Например, 3x3 матрица:

B = | 1 2 3 |
        | 4 5 6 |
        | 7 8 9 |

Единична матрица е тази, в която всички елементи по главния диагонал са равни на 1, а останалите са 0. Тя се бележи с I:

I = | 1 0 0 |
        | 0 1 0 |
        | 0 0 1 |

Нулева матрица е тази, в която всички елементи са равни на 0:

0 = | 0 0 0 |
        | 0 0 0 |
        | 0 0 0 |

Правоъгълна матрица е тази, в която броят на редовете и стълбовете е различен:

| 1 2 |
        | 3 4 |
        | 5 6 |

Основни действия с матрици

Събиране и изваждане на матрици

За да се съберат или извадят две матрици, те трябва да имат еднакъв размер. Когато се уверите, че това е така, събирането и изваждането се извършват чрез прибавяне или изваждане на съответните елементи от двете матрици. Например:

A = | 1 2 |   B = | 5 6 |
        | 3 4 |       | 7 8 |

A + B = | 1+5 2+6 |
        | 3+7 4+8 |

        = | 6  8 |
          | 10 12 |

Умножение на матрица с число

Когато умножавате матрица с число, всеки елемент от матрицата се умножава с него. Например:

A = | 1 2 |
        | 3 4 |

2 * A = | 2*1 2*2 |
        | 2*3 2*4 |

        = | 2 4 |
          | 6 8 |

Умножение на матрици

По същия модел, ако искате да умножите две матрици, броят на стълбовете от първата матрица трябва да е равен на броя на редовете от втората. Резултатът е нова матрица, в която всеки елемент се получава чрез сумата от произведенията на съответните елементи от редовете на първата матрица и стълбовете на втората. Например:

A = | 1 2 |   B = | 5 6 |
        | 3 4 |       | 7 8 |

A * B = | (1*5 + 2*7) (1*6 + 2*8) |
        | (3*5 + 4*7) (3*6 + 4*8) |

        = | 19 22 |
          | 43 50 |

Прочетете повече:  Какво представлява числото Пи?

Свойства на матриците

След като открихте някои от главните действия на матриците, нека разгледаме някои от техните основни свойства:

• Комуникативност при събиране: Според това свойство за всеки две матрици A и B е валидно, че A + B = B + A.
• Асоциативност при събиране и умножение: Според това свойство: A + B + C = A + (B + C) и A * B * C = A * (B * C).
• Дистрибутивност: Според това свойство умножението на матрица с число разпределя събирането: c * (A + B) = c * A + c * B.
• Свойства на единичната матрица: За всяка матрица A и единична матрица I, A * I = I * A = A.

За оптимално усвояване на тази теория е необходимо да бъде илюстрирана с още повече примери и упражнена с практически задачи. За целта Ви съветваме да потърсите частен преподавател по математика, който да подготви персонализирана програма, за да разберете матриците добре.

Прочетете повече:  Питагорова теорема в математиката

Заключение

Матриците са важен математически инструмент с множество приложения в най-различни области – от компютърните науки до икономиката. Можете да ги използвате за моделиране на системи с множество променливи или пък да представите сложни зависимости и структури чрез тях. Важно е да се запознаете с основните видове матрици, техните свойства и действия, за да ги използвате ефективно. А в случай че имате нужда от допълнителна подкрепа, можете да намерите частни уроци по математика на цени от 20лв. на платформата BUKI!